גאומטריה

• מאמרים
• גלריה
• סירטונים

גיאומטריה של הקדושה

שרשי הגיאומטריה של הקדושה נטועים במדעי הטבע וקשורים לחוקי המתמטיקה הפועלים ביקום.

עקרונות 'הגיאומטריה של הקדושה' נמצאים בתשתית התכנונית של מבני דת, מקדשים, מונומנטים וסמלים לאומיים. כמו גם בכל יצירת אמנות השייכת לעולם העתיק, אמנות קלאסית או זו של תקופת הרנסאנס. גיאומטריה של הקדושה מייחסת משמעות מיוחדת למספרים וליחסים כגון יחס הזהב. לצורות גיאומטריות במישור, כגון משולש מרובע מחומש או משושה, יש יחוס למספרים, ולמספרים מתווסף עומק ומשמעות רגשית וסמלית מעצם יכולתנו לראות כל מספר גם כצורה חזותית (שלש – משולש… שש – משושה).

'אדריכלות הקדושה' ליוותה את תהליך התגלות האלוהות החל במסופוטמיה, מצרים, הודו, דרך ישראל, הנצרות והאסלם. אדריכלות זו נועדה לשמר ידע אנושי לגבי מבנה היקום, מיקומנו במרחב, חוקי הטבע ומועדיו, ומבני קדושה הכילו ידע אסטרונומי, גיאומטרי, מתמטי והנדסי, מונצח במידות, בזוויות וביחס בין חלקי המבנה.

הפרויקט העברי הראשון, לפני 3,500 שנים, המשכן ובית המקדש אחריו, שייכים גם הם לזרם אדריכלות הקדושה ומהווים את ראשיתה של האדריכלות העברית.

גיאומטריה בטבע

בטבע, אנו מוצאים דֻּגְמָאות, תַּבְנִיות, דְּפוּסים, שַׁבְּלוֹנָות ועיצובים של מבנים וסטרוקטורות, החל בחלקיקים הקטנים ביותר וכלה בקוסמוס הרחב.

בכולם ללא יוצא מן הכלל, ניתן להבחין בצורות גיאומטריות אב-טיפוסיות, שמגלות את טבעה של כל צורה, ואת התהודה התנודתית שלה (תהודה – היא מצב של מערכת פיזיקאלית הנתונה להשפעת כוח חיצוני, אשר מתקבל כאשר הכוח פועל בתדירות קרובה לאחת מתדירויות התנודה הטבעיות של המערכת. מערכת בעלת מאפיינים אלו נקראת גם מהוד) צורות אלו גם מסמלות ומדגישות את העקרונות המטפיזיים שנמצאים בתשתית היחסים הבלתי ניתנים להפרדה בין החלק לבין השלם .

זהו עקרון האחדות שטמון בתשתית כל הגיאומטריה, ממנה נובע ריבוי עצום. רעיון זה מבטא קשר פנימי, ובלתי ניתן להפרדה, הנמצא בין אחד לבין ריבוי, והוא מזכיר לנו את יחסנו אנו אל השלם, ואל יסודות הקדושה האחת, הנמצאת בבסיס הבריאה כולה.

צורות ומבנים גיאומטריים :

ספירה

  נתחיל בגוף תלת מימדי הפשוט והמושלם ביותר, הספירה. הספירה, הינה הביטוי האולטימטיבי של האחדות, והשלמות . אין נקודה על פני הספירה שיש לה חשיבות גדולה יותר או פחות מכל נקודה אחרת. כל הנקודות על פני הספירה שוות ביחסן למרכז, ממנו נובע הכל. את הספירה ניתן למצוא במבנה האטום, התא, הזרע, הצמח או במערכות כוכבים. בכולן מהדהדת פרדיגמת הספירה המבטאת  אחדות שוויונית ופוטנציאל זהה. חוק זה נכון  גם במיקרו קוסמוס וגם במקרו קוסמוס.

מעגל

   המעגל הוא היטל דו- מימדי של הספירה. לאורך ההיסטוריה התרבותית נחשב המעגל כסמל של   האחד המושלם שלא ניתן לחלוקה. האחדות הבלתי ניתנת לחלוקה של כל היקום. כל שאר הסמלים והגיאומטריות משקפים אספקטים או צדדים שונים של שלמות המעגל. הספירה ושאר צורות ומימדים גבוהים. היחס בין היקף המעגל לבין הקוטר, פאי, הוא מקור המספרים הבלתי רציונאליים. (פאי =    … 3.141592653589793 ) מספר זה לא ניתן לביטוי במושגים של יחס בין שני מספרים שלמים, או בשפה של סמלי קדושה. המהות של המעגל נמצאת במימד שמתעלה מעל להגיון הליניארי. תפיסת הקדושה במוחנו, בתחושותינו ובאינטואיציה שלנו, מכילה את אין סוף החלקים של הרעיון. תפיסתנו ותחושתנו של מימד הקדושה מכילים אינסוף הרעיונות, אבל לא ניתנים לביטוי ממשי רק בעזרת המספרים הרציונאליים בלבד.

הנקודה

הנקודה חסרת מימד תמיד תמצא במרכז המעגל או הספירה. לנקודה אין שום מימד ולמרות זאת היא מכילה את כל המימדים. תפישתנו את מימד הזמן והמרחב מסתכמת  בנקודה של כאן ועכשיו. נקודת האור של התודעה הבסיסית. אותה נקודת האינסוף חסרת המימד היא הגרעין האמיתי של כל הקיום הרוחני שכולנו חולקים. כבר בשלבים הראשונים של חלוקת התא ניתן להבחין בצורות גיאומטריות כגון כוכב משושה, וזאת עוד לפני התפצלות הרקמות לאברים השונים. גוף האדם בעצמו צומח בצורות גיאומטריות זהות מאחד לשניים, לארבע , לשמונה תאים יסודיים וכך הלאה. בכל כיוון שאליו שנביט החל ממבנה הקריסטל של המינרלים, נראה התפתחות גיאומטרית ועקרונות מתמטיים זהים שחוזרים על עצמם.

שורש 2

   שורש שתיים מבטא את הרעיון שהשלם הוא יותר מסך כל חלקיו.                 שורש 2 =… 1.414213562 הנקודה ממנה נובעים ציר ה-X וציר ה-Y (האופקי והאנכי) היא תחילתו של מימד נוסף הנקרא יתר (אלכסון) שהוא סינתזה שני המימדים, האופקי והאנכי. שורש 2 נובע מהריבוע שנוצר מציר X וציר Y  והוא מוביל אותנו למימד שלישי גבוה יותר ולרמת ביטוי גבוהה יותר של הקווים. העובדה ששורש 2 הוא מספר לא רציונאלי, מבטאת את הרעיון שככל שהמימד גבוה יותר לא בהכרח ניתן לתאר אותו באותה שפה שבה משתמשים לתיאור המימדים הנמוכים יותר. (כפי שאמרנו, לנקודה אין מימד, לקו יש מימד אחד, אורך. לשטח כבר יש 2 מימדים, אורך ורוחב, ותחילתו של המימד השלישי הוא ב"יתר", ז"א באלכסון- שורש 2, שהוא כבר מספר לא רציונאלי המחבר את שני המימדים של קווי X ו- Y).

יחס הזהב

   יחס הזהב נקרא "פי". ידוע בשמו גם כחתך הזהב, או הפרופורציה האלוהית, והוא מידה יסודית שנמצאת כמעט בכל דבר בטבע. יחס הזהב =… 1.161803398874 הוא "מקדם צמיחה" שמבטא רעיון מיוחד: הוא מחלק את השלם באופן בלתי סימטרי לשני חלקים, כאשר היחס בין החלק הגדול אל השלם זהה ליחס שבין החלק הקטן לחלק הגדול. באופן סמלי הוא מקשר את הדור החדש לאבותיו ומשמר את המשכיות היחסים כאמצעי לברור השושלת. ליחס הזהב יש כמה איכויות מיוחדות שנראות מאד מעניינות:

• phi = phi^2 – 1; therefore 1 + phi = phi^2; phi + phi^2 = phi^3; phi^2 + phi^3= phi^4; ad infinitum.
• phi = (1 + square root(5)) / 2 from quadratic formula, 1 + phi = phi^2.
• phi = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/…)))))
• phi = 1 + square root(1 + square root(1 + square root(1 + square root(1 + square root(1 + …)))))
• phi = (sec 72)/2 =(csc 18)/2 = 1/(2 cos 72) = 1/(2 sin 18) = 2 sin 54 = 2 cos 36 = 2/(csc 54) = 2/ (sec 36) for all you trigonometry enthusiasts.

יחס הזהב מופיע לראשונה במספר 5 ובכוכב מחומש. (זהו היחס בין אורך הבסיס של כל משולש אל צלעו) פי, נחשב לערך מקודש בבתי הספר של פיתגורס ואפלטון ונמצא בפירמידה הגדולה בגיזה. פי, הוא גם היחס בין המספרים העוקבים בסדרת פיבונצ'י שהיא סדרה אינסופית …1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144   שים לב, שהערך השניים עשר בסדרה זו, הוא המספר 144 שהוא גם מספר רציונאלי, שמתקבל מהפעולה של – 12 בריבוע. 12 משמש נקודת מפגש בין סדרה אינסופית זו, שמקורה במספר אי רציונאלי, לבין סדרת המספרים הרציונאליים. שים לב, שבגימטרייה, בעברית, המספר 144 הוא המילה "קדם" שמקורה במקרא.  את יחס הזהב נמצא בדומם בצומח בחי ובקוסמוס. יחס הזהב הוא בעל האיכויות האסתטיות הגבוהות והנעימות ביותר,

  שימש בסיס לבניית הפירמידה הגדולה בגיזה, הפרתנון באתונה, ושימש גם את ציירי הרנסאנס, כמו ליאונרדו דה ווינצ'י בציורו הסעודה האחרונה.

שורש שלוש  וה-VESICA PISCIES

המונח הלועזי VESICA PISCIES מציין את השטח המשותף לשני מעגלים בעלי רדיוס שווה, שהיקף כל מעגל עובר במרכזו של המעגל השני. שטח החתך הסמלי מציין את הערך המשותף, המאחד בין שתי הוויות. לשטח זה צורה של "דג" ובנצרות נחשב כאחד מסמליו של ישו.  גם צורת העין האנושית נראית כך ומכאן נובע גם המשפט הידוע של "לראות עין בעין" כמו גם הרעיון של "מראה לנשמה". צורה זו שימשה את אמני הרנסנס בציור ואדריכלות. היחס בין צירי האורך והרוחב בתוך השטח המשותף, הוא שורש שלוש, שערכו … 1.7320508075688 מספר זה מתייחס לטבע העמוק של ה "שילוש" וגם הוא אינו ניתן להסבר בשפה רציונאלית בלבד.

ספירלה

  מקורה של הספירלה הוא בשרשרת נסוגה של משולשים ביחס הזהב (משולשים שהיחס בין הצלעות הוא: אחד,פי, פי) ספירלה – זאת הצורה הקלאסית של מבנה הקונכייה, כשהרכיכה הבונה את הקונכייה משתמשת בפרופורציות זהות בכל תא חדש שמתווסף לתאים הקיימים. הצמיחה נעשית על פי חוק השוויוניות. המשולש החיצוני זהה לכל אחד מחמשת הזרועות של המחומש שמעליו.

TROIDS – טרויידס

  צורה זו מתקבלת מסיבובו של מעגל סביב קו המשיק לו. צורה זו דומה ללביבה, דונאט או גלגל ים, בהם המרכז נוגע בכל המעגלים הסובבים אותו. פני השטח של הטרויידס יכולים להיות מכוסים על ידי שבעה משטחים קבועים אשר כולם נוגעים אחד בשני. צורה זו קשורה גם לבעייה של השטחת מפת העולם הנראית במבט על.

מידתיות

ההתפתחות מנקודה (חסרת המימד) לקו (מימד אחד) לשטח (שני מימדים) לגוף (שלושה מימדים) וכן הלאה, מובילה אותנו לשאלה האם אנו מאבדים אינפורמציה ברגע שאנו מנסים למפות מימד גבוה אל מימד נמוך יותר. למשל: היטל של ספירה (שהיא גוף תלת מימדי) תראה כמעגל (שהוא גוף דו-מימדי, חסר עומק או גובה). ובהקשר זה עולה שאלה נוספת: האם תפישתנו המורגלת לשלושה מימדים, מעוותת את ראיית המציאות שלנו, מציאות שהיא בעצמה בעלת ארבעה מימדים…

פרקטל – צורה גיאומטרית נפתלת בעלת הדמיון העצמי – FRACTLS

 ישנה ספרות נרחבת על הנושא וזה תמיד מרתק לראות איך הטבע מייצר את אותן התכונות ללא קשר לגודל הביטוי. הרוח שלנו היא חסרת מימד, יחד עם זאת היא יכולה לבוא לביטוי בכל פני המציאות ובכל קנה מידה.

משולש ישר זווית

הנה כמה דוגמאות למשולשים ישרי זווית, במידות:  3/4/5 , 5/12/13 , 7/24/25 במשולשים אלו אורך הניצבים הם מספרים שלמים. המשולש  3/4/5  נמצא בחדר המלך שבפירמידה הגדולה בגיזה, ביחד עם משולש שמידותיו  2/3/ ושורש 5 ויחד עם משולש שמידותיו 5/שורש 5 ופעמיים שורש 5 .

5/12/13 – משולש ישר זווית זה מרומז במקרא, ומספרים אלו מצוינים בקשר לאבנים (אותיות) ובנוגע לשתי דמויות, יעקב ודוד.

המספר 12 מרומז כאשר יצא יעקב מבאר שבע וילך חרנה (בראשית כ"ח) "וישכם בבוקר ויקח מאבני המקום ויישם מראשותיו וישכב במקום ההוא ויחלום והנה סולם…" ישנה סברה כי אבני המקום הן 12 אבנים (כמספר השבטים, בניו לעתיד) שהתאחדו לאבן אחת. היות ובהמשך כתוב "וישכם יעקב בבוקר וייקח את האבן אשר שם למראשותיו ויישם אתה מצבה ויצק שמן על ראשה" כלומר "האבנים" בריבוי, התאגדו לאבן אחת. יעקב הרי שם אבנים למראשותיו אולם בבקר מצא רק אבן אחת.

המספר 5 מצוין בקשר לדוד ומלחמתו בגלית. "ויקח מקלו בידו ויבחר לו חמשה חלוקי אבנים מן הנחל וישם אותם בכלי הרועים…" וכל זאת עשה טרם "לקח אבן והניחה בקלע" והרי כתוב מראש שלקח חמש אבנים…

הן יעקב והן דוד מגלים שיש אלהים "אחד" במקום…יעקב מעיד על כך באמרו "אכן יש אלהים במקום ואני לא ידעתי" ודוד הורג את גלית בשם אלהים "ואנכי בא אליך בשם יהוה צבאות אלהי מערכות ישראל אשר חרפת…וידעו כל הארץ כי יש אלהים לישראל"..אם כך כיצד הפכו 5 אבני דוד ו- 12 אבני יעקב לאבן אחת? כיצד מציינים המספרים 12 ו- 5 את אלהי ישראל שהוא "אחד" ? בגימטרייה המילה אחד = 13 (א+ח+ד = 1+8+4 = 13) אלו הם שלשת הצלעות במשולש ישר הזוית, בו שתי הצלעות הישרות הן 5, ו- 12 ואורך היתר הוא 13.

חמשת הגופים האפלטוניים

1-     ארבעון (טטראדר או טטרהדרון באנגלית( tetrahedron  הוא פירמידה משולשת, כלומר גוף שכל ארבע פאותיו הן משולשים. לארבעון 4 קודקודים, 4 פאות, ו-6 צלעות. (טטרהדרון כפול המורכב הפוך – נקרא גם מרכבה – ויוצר כוכב בעל שמונה קודקודים שהיטלו הדו מימדי נראה כמגן דוד)

2-  קובייה, גוף בעל 6 פאות ריבועיות שוות, 8 קודקודים ו- 12 צלעות. קובייה היא העלה בחזקה שלישית; כאשר מודדים את הנפח המעוקב (של משהו)

3- תְּמַנְיוֹן, אוֹקְטָהֶדְרוֹן, (גם אוקטאדר או אוקטהדרון) הוא פאון בעל 8 פאות, 6 קודקודים ו – 12 מקצועות. התמניון המשוכלל (קרוי גם דו-פירמידה ריבועית) הוא תמניון שכל אחת מפאותיו היא משולש שווה צלעות, ואפשר לבנות אותו משתי פירמידות ריבועיות, שפאותיהן הצדדיות הן משולשים שווי-צלעות, אשר חוברו בבסיסיהן. התמניון המשוכלל הוא אחד מחמשת הפאונים המשוכללים, הקרויים גם "הגופים האפלטוניים". הפאון הדואלי, מתקבל מחיבור המרכז של כל פאה עם מרכזי הפאות הסמוכות לה, הוא קובייה

4 – תֲּריסִרון, דּוֹדֶקָהֶדְרוֹן, גוף הנדסי בעל שתים עשרה פאות

5 – איקוסהדרון או עשרימון באנגלית icosahedron הוא פאון משוכלל בעל עשרים פאות, אשר כל אחת מהן היא משולש משוכלל, כלומר משולש שכל צלעותיו וכל זוויותיו זהות. לאיקוסהדרון 30 מקצועות ו-12 קודקודים. חבורת האוטומורפיזמים של האיקוסהדרון היא חבורת התמורות הזוגיות , החבורה הפשוטה הקטנה ביותר, הקרויה בשל כך גם "חבורת האיקוסהדרון"

——————————–

מודל ראשוני של תבניות קריסטלים שבאות לביטוי בעולם המינרלים באין סוף וריאציות. אלו הן חמשת הגופים הבסיסיים והם חמשת הגופים היחידים שבנויים מחלקים שווים. לגבי היוונים, גופים אלו הם סמלים לאש, עפר, אוויר אתר ומים. הקובייה והמתומן הינם זוג שהאחד יכול להיבנות על ידי מפגש של נקודות המרכז של פני השטח של השני. הגוף בעל עשר הפאות והגוף בעל עשרים הפאות הם גם זוג .כאשר שלושה מקבילים משותפים חותכים מלבני זהב שמחברים גם את הניצבים וגם את נקודות המרכז ביחד.

הגופים הארכימדיים

ישנם 13 גופים ארכימדיים כאשר כל אחד מורכב משניים או יותר פוליגונים פשוטים. מעניין לראות   ש – 5 הגופים האפלטוניים ו-13 הגופים הארכימדיים הם מספרים מסדרת פיבונאצ'י. 5/12/13 יוצרים משולש ישר זווית .

מספרים מיוחדים אלו, כאמור לעיל, מופיעים במקרא, ראה הסבר בפסקה על משולש ישר זווית.